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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
d) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$ (ese denominador nunca es cero!)

2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$

Usamos regla del cociente:

\( f'(x) = \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \)

Para volver a derivar aplicamos de nuevo regla del cociente:

\( f''(x) = \frac{(1+x^2)^2 \cdot (-2x) - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} \)

Lo reacomodamos un poquito:
\( f''(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4} \)

3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión

$\frac{-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = 0$

$-2x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2) = 0$

Saco factor común $-2x$

$-2x \cdot [ (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2)    ] = 0$

Tenemos una multiplicación que nos está dando cero, entonces las soluciones van a salir de igualar los factores a cero, como venimos haciendo en tantos ejercicios. Una solución ya la tenemos, $x = 0$. Las otras quizás salgan de plantear:

$ (1+x^2)^2 + 2 (1-x^2)(1+x^2)  = 0$

$ 2 (1-x^2)(1+x^2) = -(1+x^2)^2$

$2 (1-x^2) = -(1+x^2)$

$2 - 2x^2 = -1 - x^2$

$3 = x^2$

$|x| = \sqrt{3}$

Por lo tanto, las soluciones son $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$

4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) \( (-\infty, -\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
b) \( (-\sqrt{3}, 0) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba

c) \( (0,\sqrt{3}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
c) \( ( \sqrt{3}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba.
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Avatar Sofia 26 de mayo 10:12
Hola! Tengo una consulta, cuando igualas a 0 y empezas a despejar, en un momento queda del otro lado del igual -(1+x^2)^2 y despues el exponente por fuera del parentesis se va y no entendi como
Avatar Flor Profesor 26 de mayo 18:34
@Sofia Hola Sofi! Mirá, es por esto, ahi te puse el paso intermedio, avisame si lo ves :)

2024-05-26%2018:34:10_1645912.png
Avatar Sofia 26 de mayo 20:54
Holaa! Gracias ahora sii🤦🏻‍♀️
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